微纳光子器件的设计及其集成是微纳光子学研究的一个热点问题，减小光学器件的尺寸至亚波长量级是推进光子学发展的一关键问题。传统光学器件由于受光学衍射极限的限制，限制了光学器件的小型化，同时也就制约了光电集成系统、光子回路的发展。而表面等离子体激元可以被约束在几十纳米甚至更小的范围内，并且不受衍射极限的限制，所以可以利用它来实现纳米尺度的光子器件^[1]。

利用亚波长金属结构激发表面等离子体可对光束进行控制^{[2,3,4,5,6,7,8]}。近年来，人们发现利用金属狭缝阵列结构可实现光束聚焦、成像、准直等光束控制^{[9,10,11,12,13,14,15,16,17,18]}。狭缝阵列的几何参数有较大的调节空间，如狭缝的深度^[13]、间距^[14]和宽度^[15,16,17]等按一定的规律变化均可以实现聚焦特性不同的聚焦功能，并且可以将聚焦光斑的尺寸控制在纳米量级。同时，由于金属狭缝阵列结构与单个小孔或单个狭缝的结构相比，通光面积大，在一定程度上可提高聚焦光斑的强度，因此引起了人们的广泛关注。目前对金属狭缝阵列透镜的设计方法主要有：等光程原理、优化算法，如杨顾算法、模拟退火算法等对透镜进行设计。这两种方法均可设计出具有一定功能的器件，尤其是后者更可以设计出功能复杂的器件。但这两种方法都需大量的计算，如前者需要利用色散关系，对不同缝隙宽度的狭缝进行有效折射率的计算；后者需要利用优化算法反复对器件结构进行优化调整。并且这两种方法设计的透镜，有的狭缝宽度只有10 nm，这种尺度就目前的加工工艺而言很难实现。如能找到一种方法，避免大量的计算，快速设计透镜结构，且狭缝的宽度均较大，并可实现对光束的控制，这必将加速器件的实用化。

本文依据数学思想，提出一种新的设计金属狭缝阵列透镜的思路，将金属狭缝阵列按某一曲线分布进行调整，可在一定程度上实现对光束的控制。本文先后将金属狭缝阵列曲面按抛物线、椭圆、圆进行了调整，设计结果利用时域有限差分法进行数值仿真模拟，发现这些透镜均可实现光的会聚作用。

图1为金属狭缝阵列透镜结构示意图。红色曲线为金属狭缝阵列结构曲面包络线。TM平面波从金属狭缝阵列左侧入射。

图 1

Fig. 1

图1 金属狭缝阵列结构示意图 Schematic of the metallic nano-slits array

图中黑色为金属银，金属狭缝内部及结构左右两侧均为空气，其中空气的介电常数 ε_d=1，金属银的介电常数用杜德模型可以表示为：

其中ε_∞=1,ω_p=8.02 eV,γ=0.1268 eV。金属狭缝宽度均为80 nm，为避免金属狭缝之间的相互耦合，选取金属狭缝周期即狭缝与狭缝之间的距离为120 nm，当入射波长为λ=632.8 nm时，我们通过改变金属狭缝阵列结构曲面包络线，实现对光束的控制。

在数学中，抛物线、椭圆、圆都有着各自的焦点，如将金属狭缝阵列按这几种曲线分布进行设计，将对光束具有一定的控制作用。本文通过选取各个曲线的一部分，形成结构图中的包络线，设计出透镜结构，并利用时域有限差分法对其进行数值仿真模拟，以验证所设计器件的性能。

抛物线方程为：

对应的曲线焦点位置位于(p/2,0)点。当p=2λ时，选取y的范围为^[-960,960] nm，每间隔120 nm取一个点，即金属狭缝的个数为17个，曲面包络线如图2所示。

图 2

Fig. 2

图2 抛物线包络曲线 The envelope curve of the parabolic

为保证出射面和入射面之间不相互耦合，我们选取最薄金属层厚度为36 nm，17个金属狭缝的深度分别为[36, 122, 196, 258, 308, 348, 394, 400, 394, 378, 308, 258, 196, 122, 36] nm.

下面利用时域有限差分法对该结构的衍射场进行计算。模拟过程中空间步长为Δx=Δy=2 nm，经过30000步的反复迭代后，得到的出射面|H_z|²的强度分布如图3所示。从图中可见，透射场的能量会聚在轴向一很小的区域内，并且在x=1.694 μm处出现光的会聚斑点，该结构实现了对光束的会聚作用。

图 3

Fig. 3

图3 抛物线曲面结构的数值模拟结果 The result of numerical simulation of parabolic surface structure

当椭圆左边顶点位于(0，0)时，椭圆方程为：

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的焦距为 ，焦点的位置分别位于(a- ,0)和( ,0)。当a=1500 nm，离心率为e=2/5时，选取y的范围为^[-840,840] nm，每间隔120 nm取一个点，即金属狭缝的个数为15个，曲面包络线如图4所示。为保证出射面和入射面之间不相互耦合，选取最薄金属层厚度为38 nm，15个金属狭缝的深度分别为[38, 128, 200, 256, 298, 326, 344, 350, 344, 326, 298, 256, 200, 128, 38] nm。

图 4

Fig. 4

图4 椭圆包络曲线 The envelope curve of the ellipse

下面利用时域有限差分法对其进行数值模拟仿真计算。模拟过程中空间步长为Δx=Δy=2 nm，经过30000步的反复迭代后，得到的出射面|H_z|²的强度分布如图5所示。从图中可见，透射场的能量会聚在轴向一很小的区域内，并且在x=1.706 μm处出现斑点，该结构实现了对光束的会聚作用。

图 5

Fig. 5

图5 椭圆曲面结构的数值模拟结果 The result of numerical simulation of ellipse surface structure

圆是椭圆的特殊形式，圆方程为：

其中a为圆的半径，圆心位于(a，0)。当a=1200 nm时，选取y的范围为[-840,840]nm，每间隔120 nm取一个点，即金属狭缝的个数为15个，曲面包络线如图6所示。为保证出射面和入射面之间不相互耦合，我们选取最薄金属层厚度为38 nm，15个金属狭缝的深度分别为[36, 140, 220, 280, 324, 356, 374, 380, 374, 356, 324, 280, 220, 140, 36] nm。

图 6

Fig. 6

图6 圆包络曲线 The envelope curve of the circle

下面利用时域有限差分法对其进行数值模拟。模拟过程中空间步长为Δx=Δy=2 nm，经过30000步的反复迭代后，得到的出射面|H_z|²的强度分布如图7所示。从图中可见，透射场的能量会聚在轴向一很小的区域内，并且在x=1.722 μm处出现斑点，该结构实现了对光束的会聚作用。

图 7

Fig. 7

图7 圆曲面结构的数值模拟结果 The result of numerical simulation of circle surface structure

本文依据数学思想，提出了一种新的设计金属狭缝阵列透镜的方法，即将金属狭缝阵列按某一曲线分布进行调整，所设计透镜可在一定程度上实现对光束的控制。文中先后将金属狭缝阵列按抛物线、椭圆、圆进行了调整，设计结果利用时域有限差分法进行仿真模拟，发现这些透镜均可实现光的会聚作用。该方法设计简洁、迅速，并且金属狭缝的缝宽都在80 nm，便于器件的加工制作。同时，由于整个器件的厚度在亚波长量级,可以非常方便地集成在相关领域的器件及系统中，因此，该方法的提出可在一定程度上加速微纳光学元器件的实用化。