物体的三维面形测量具有重要的意义。近年来，随着计算机技术、光学和光电子技术的迅速发展，基于相位分析类的光学三维面形测量方法因为具有非接触、测量速度快、精度高等优点，已得到深入研究并且被广泛应用^{[1, 2]}。这一类方法是将被测面形的高度分布调制到投影光场的相位变化中，分析获取到的变形条纹图，计算得到对应的相位分布来重建被测物体的三维面形分布。由于相位分布是通过反正切函数运算得到，计算出的相位值被截断在函数主值范围 (-π, π) 内，呈锯齿形的不连续状分布，通常称为相位被截断 (wrapped) 了。因此，在重建被测物体的高度分布之前，必须将此截断的相位恢复为原有的连续相位，需要通过在相位间断点处加减2nπ的方法进行修正，这一过程就是相位展开 (Phase unwrapping，或称相位解截断、相位去包裹)^[3-5]。传统的空间相位展开方法是在截断相位二维空间中按照一定路径逐点搜索定位截断点进行相位展开，较为费时，而且一些算法会在展开路径上造成“拉丝”状的错误蔓延累计；时间相位展开方法可以避免该类错误，但需要投影和获取多幅条纹周期不同或者对每个条纹周期进行级次标记的图像，利用周期之间的关系或者编码级次进行时间轴上的相位展开，该类方法给测量和重建均增加了时耗和复杂度^[6-10]。

在常用的相位分析类三维面形测量技术中，傅里叶变换轮廓术 (FTP) 是一种具有广泛应用前景的方法，该方法只需要采集一幅或两幅变形条纹图就可以实现对物体轮廓的测量，其方法速度快，易于实现，近年来被用于动态三维面形的测量^[11-13]。针对傅里叶变换轮廓术方法计算得到的截断相位分布，本文提出利用被测表面的截断相位与参考平面展开相位分布二者相位差值，与2π进行比较后得到整数倍数，以获得截断相位的正确级次，并进行相位展开的新方法；当由于被测物体较复杂或者投影条纹周期较小导致相位截断次数较多时，利用已有的单一参考平面无法进行相位展开，可以在已有参考平面基础上虚拟构造出新的相位平面，依次比较截断相位和虚拟相位，进行多次分级相位展开，结合多个展开相位结果，最终得到正确的展开相位。该方法展开速度快，展开错误不会蔓延传递。仿真和实物实验结果证明了该方法能有效、快速地展开傅里叶变换轮廓术中的截断相位，获得正确的相位分布。

傅里叶变换轮廓术的原理分为以下几个部分：(1) 结构光通过光栅投射到被测三维物体表面，受物体高度的影响，会得到变形条纹图；(2) 对变形条纹图进行离散傅里叶变换，选取大小适合的滤波窗滤波，提取基频部分，再进行逆傅里叶变换得到截断相位；(3) 对截断相位进行相位展开，得到展开相位，扣除载波相位分布后得到对应物体高度分布的相位差分布；(4) 利用相位差和高度的对应关系，最后重建被测物体的高度分布。

在傅里叶变换轮廓术中，当结构光通过余弦光栅投影到物体上时，我们可以得到它的变形条纹图，可以用下面的公式表示：

(1)

其中，a(x, y) 是背景光强，b(x, y) 是条纹对比度，f₀是投影光栅的频率，φ(x, y) 是由于高度分布引起的相位调制，为了得到相对高度分布和消除测量系统误差，我们再对参考面进行测量，对物体高度分布h(x, y)=0的参考变形条纹可以表示为：

(2)

对其进行二维傅里叶变换，用合适的滤波窗滤出基频进行二维逆傅里叶变换后，得到如下指数形式表达的复分布：

(3)

其中，w(x, y) 为b(x, y) 的傅里叶谱分布。同样，对参考条纹也做同样的变换得到如下表示：

(4)

通过对式 (3) 和 (4) 的复分布进行计算，可得到相位差：

(5)

上式中atctan{}表示反正切函数，imag[]表示取复数虚部，real[]表示取复数实部，当我们得到相位差后，进行相位展开，再根据相位高度对应关系，得到所需要的高度分布。

由上述公式知，被测物体的截断相位分布在 (-π, π) 内，一般情况下，我们获取参考平面的截断相位容易展开，在进行简单空间行列展开得到它的展开相位ϕ₀后，将待展开截断相位φ与参考平面展开相位ϕ₀二者差值与2π相比较，获得整数差值K，指导截断相位的展开，即有多少K的差值，截断相位对应加减2Kπ，具体可用以下表示：

(6)

相位级次对应的K为：

(7)

floor函数为向下取整函数，获得正确相位级次后，被测面的展开相位ϕ₁为：

(8)

有了展开相位ϕ₁，减去参考平面的展开相位ϕ₀，就可以得到相位差Δφ，然后按照测量系统标定得到的参数重建物体的高度分布。

为了更好地阐述本文的相位展开方法，我们选取了256*256 pixels的peaks函数截断相位分布中的一行为例，其展开过程如图 1所示，图 1(a)为参考平面上展开相位分布，子图 (b) 为被测物面上该行的截断相位，子图 (c) 为 (a) 和 (b) 两个相位分布差值与2π相比后得到的相位级次值K，子图 (d) 为 (b) 对应的展开相位，子图 (e) 为展开相位并扣除参考平面相位的相位分布。

图 1

Fig. 1

图 1 本文相位展开方法的原理图 Fig.1 The principle diagram of phase unwrapping of the presented method

当被测物体较复杂，或者相位截断次数较多时，我们需要在已有参考平面的基础上虚拟出新的相位平面来辅助相位展开。为了验证该方法，我们进行了模拟实验，选取大小256*256 pixels的6.3*peaks函数作为被测物体，条纹周期p=21 pixels。当对被测物体用上述公式 (6)~(8) 的方法，在一个参考平面基础上，不能正确展开复杂截断相位分布，执行一次相位展开操作并扣除参考平面相位的相位分布，其结果如图 2(a)所示，我们发现图中3块截断区域为相位未展开区域，并且上方2块颜色较亮的较大区域我们称为区域1和2，都是由于一次展开后相位高于正确连续相位2π或者2nπ，下方颜色较深的较小区域称为区域3，则都是低于正确连续相位2π或者2nπ。此时如果再虚拟多个与参考平面展开相位相差分别是-2nπ和2nπ的虚拟相位平面重复多次本文方法就可以将图 2(a)中仍旧截断的相位最终展开。在该仿真数据中，需要虚拟另外2个相位平面，其中一个相位值为ϕ₀-2π，正好满足在区域1、2的相位再次展开，另一个相位值为ϕ₀+2π，满足在区域3的相位再次展开，即需要再重复2次本文方法得到最终展开相位。但是，需要指出的是，为了得到正确的相位展开结果，需满足如下条件：(1) 虚拟相位平面要略小于ϕ₀±2nπ，以便准确确定相位截断级次；(2) 利用虚拟相位面进行截断相位展开，会人为地造成级次变化，我们需要在多个展开相位区域融合时扣除人为引入级次变化，得到正确的展开相位。

图 2

Fig. 2

图 2 模拟仿真实验的相位展开结果：(a) 第一次相位展开并减去参考平面的结果；(b) 第二次相位展开并减去虚拟相位平面ϕ01的相位；(c) 第三次相位展开并减去虚拟相位平面ϕ02的相位；(d) 正确的展开相位结果 Fig.2 Phase unwrapping result of the simulation: (a) phase distribution after first unwrapping and subtracting the reference phase ϕ0; (b) phase distribution after the second unwrapping and subtracting the first virtual phase ϕ01; (c) phase distribution after the third unwrapping and subtracting the second virtual phase ϕ02; (d) last result of unwrapping phase

当我们由行列相位展开方法得到参考面的相位ϕ₀后，根据上述条件，虚拟的2个相位平面分别为ϕ₀₁=ϕ₀-2π+1和ϕ₀₂=ϕ₀+2π-1，图 2(b)、(c)分别是以虚拟相位平面ϕ₀₁和ϕ₀₂按照上述 (6)~(8) 公式执行相位展开操作并扣除参考平面相位的相位分布结果，我们选取图 2中子图(a)、(b)、(c)中黄色虚线这一列，它们的相位分布如图 3(a)所示，图中黑色曲线展开出错的部分，可以用青色曲线融合，那么在图 2(a)中区域1和区域2在图 2(b)所示的第二次操作后是连续的，所以可以融合两次展开的相位分布，得到区域1和2的正确相位，如果选取图 2(a)、(b)、(c) 中黄色实线这一列，它们的相位分布如图 3(b)所示，图 3(b)中黑色曲线前面截断部分在区域2已经由图 2(b)融合成正确相位，曲线后边未展开部分可以利用图 3(b)中红色曲线进行融合，在图 2(a)中区域3在图 2(c)所示的第二次操作后是连续的，所以可以融合两次展开的相位分布，得到区域3的正确相位，最终得到正确的展开相位。如图 2(d)所示，图 4为被测物体的重建高度分布。此模拟正确展开了相位并重建了高度分布，说明本文相位展开方法是正确的。

图 3

Fig. 3

图 3 图 2中黄色标记线上相位展开过程示意图 (a) 图 2中黄色虚线标注行上的相位展开; (b) 图 2中黄色实线标注行上的相位展开 Fig.3 Phase unwrapping process on the marked line in Figure 2 (a) Phase unwrapping process on the yellow dashed line in Figure 2; (b) phase unwrapping process on the yellow solid line in Figure 2

图 4

Fig. 4

图 4 模拟被测物体的重建高度分布 Fig.4 Reconstructed height distribution of the simulated object

实验1所用的物体为一个猫脸的模型，它的条纹图如图 5(a)所示，它的截断相位图如图 5(b)所示，参考面按照空间行列展开相位为ϕ₀，图 5(c)为按照公式 (6)~(8) 执行一次展开操作并扣除参考平面相位的相位分布。在此实验数据中，需要虚拟一个相位平面ϕ₀₁=ϕ₀-2π+1，图 5(d)是以虚拟相位平面ϕ₀₁按照上述 (6)~(8) 公式执行第二次展开操作并扣除参考平面相位的相位分布。图 5(c)中第一次操作未展开的区域相位在图 5(d)所示的第二次操作后是连续的，因此，融合两次展开的相位分布，可以得到如图 5(e)所示的最终展开相位分布，图 5(f)为最终的相位展开并扣除参考平面相位的相位分布结果。

图 5

Fig. 5

图 5 第一个实验相位展开结果：(a) 被测物体条纹图；(b) 被测物体的截断相位；(c) 第一次相位展开并减去参考平面的结果，(d) 第二次相位展开并减去虚拟相位平面的相位结果；(e) 正确的展开相位结果；(f) 展开相位并扣除参考平面相位的相位分布 Fig.5 Phase unwrapping results of the first experiment:(a) fringe pattern of the measured object; (b) wrapped phase of the measured object; (c) phase distribution after the first unwrapping and subtracting the reference phase; (d) phase distribution after the second unwrapping and subtracting the first virtual phase; (e) last result of unwrapping phase; (f) unwrapping phase distribution subtracting the reference phase

实验2所用的是一个三层叠放的塔状物体，采集得到的变形条纹图如图 6(a)所示，图 6(b)为条纹图对应的截断相位分布，如果采用简单的二维空间相位展开算法，结果如图 6(c)所示，从中可以明显地看到由极点导致的“拉丝”状错误蔓延，导致不能正确重建三维面形。图 6(d)为本文方法相位展开，并扣除参考平面相位的相位分布结果。图中未展开的区域是由于条纹级次错位截断产生的相位极点，它们的误差被控制在很小的范围内，不会影响周围其他条纹周期的相位正确展开。可以看出本文的方法不仅使得相位得以展开，并且不会出现“拉丝”误差，不会导致误差传递蔓延和扩散。从而进一步证明了本文相位展开方法是正确的。

图 6

Fig. 6

图 6 第二个实验相位展开结果：(a) 被测物体条纹图；(b) 被测物体的截断相位；(c) 简单的二维空间相位展开算法结果；(d) 展开相位扣除参考平面相位的相位分布结果 Fig.6 Phase unwrapping results of the second experiment: (a) fringe pattern of the measured object; (b) wrapped phase of the measured object; (c) unwrapping phase using simple two-dimensional phase unwrapping algorithm; (d) unwrapping phase distribution subtracting the reference phase based on the presented method

本文提出了一种利用截断相位与参考平面相位差值2π的整数倍数获得截断相位的正确级次，辅助相位展开的方法。当被测物体较复杂，或者相位截断次数较多时，该方法在已有参考平面相位的基础上虚拟新的相位平面，依次比较截断相位和虚拟相位，进行多次分级相位展开，结合多个展开相位结果，最终得到正确的展开相位。由于本文方法不在二维面内进行逐点空间相位展开，所以不会发生误差传递蔓延和扩散。模拟仿真和两组实验结果都表明该方法可用于傅里叶变换轮廓术中进行截断相位的快速展开。