2. 河北工业大学医院, 天津 300401
2. Hebei University of Technology Hospital, Tianjin 300401, P. R. China
磁共振(MR)因具有功能强大、对人体伤害小的特点，目前广泛应用于医疗诊断。但MR成像过程复杂，硬件电路和人体散热等因素容易产生Rician噪声[1]，噪声存在使得MR图像细节模糊，组织边界难以识别，对医学诊断造成困难，因此去噪处理很有必要。
传统MR图像去噪方法主要有滤波法[2]、变换域法[3]和统计法[4]，这些方法在去除高斯噪声时效果显著，但对于MR图像中Rician噪声则去噪效果一般，尤其对医学MR图像细节边缘保护不好，容易丢失有用信息。目前小波变换和基于非局部滤波等方法已被广泛用于MR图像Rician噪声的去除。2008年程巧翠[5]在小波变换的基础上结合SURE硬阈值滤波和维纳滤波对MR图像去噪，但重建时易造成相位失真；2011年Foi[6]首次将方差稳定变换用于MR图像Rician噪声去除，取得良好效果；2015年陈创泉提出一种改进的非局部滤波算法[7]用于MR图像中Rician噪声的去除，算法结构复杂，不宜寻找最优参数[8]。2016年黄学优等[9]提出一种双数复小波域的MR图像去噪算法，该算法结合双边滤波器和基于Stein无偏误差估计[10]的领域收缩法，在去除MR图像Rician噪声方面取得突破性进展。
对于MR图像中的Rician噪声，利用方差稳定变换将Rician噪声变换成类加性高斯白噪声，减小噪声与原始图像依赖性，实验效果显著[11, 12]。方差稳定变换作为一种数学变换，可将异方差数据变为同方差数据，方便解决实际中的复杂问题。PGPD算法[13]采用非局部自相似性(non-local self-similarity，NSS)原理，将一幅图像划分成多个局部块，根据块组之间相似性，提取多个非局部块，两者结合构成新块组，进行NSS模型[14]学习。该算法与其它算法相比，在去除高斯噪声方面展现出很大优势。
PGPD算法学习阶段通过高斯混合模型学习原始图像先验NSS，去噪阶段选择高斯分量，都是针对方差恒定的高斯分布而言。而MR图像中的Rician噪声在信噪比低的部分服从瑞利分布，在信噪比高的部分服从高斯分布，因此传统PGPD去噪算法对于MR图像Rician噪声的去除无优势。
本文提出一种结合方差稳定变换和PGPD的新去噪算法。首先对含有Rician噪声的MR图像进行方差稳定变换，在变换域中使得噪声与图像独立，Rician噪声近似转化为加性高斯噪声。然后采用去除高斯噪声效果优异的PGPD算法去噪，最后经过方差稳定逆变换得到无偏去噪图像。
1 MR图像所含噪声分析MR因成像迅速、危害小等特点广泛用于医疗诊断中，但成像过程中常会引入噪声。检测对象和电路元件是产生磁共振图像噪声的两大主要来源。MR原始数据采集于K空间，K空间的数据由实部和虚部两部分信号构成，相位相差90度[15]。MR图像所含噪声在复数域呈高斯分布[16]，通过应用计算机辅助图形分析，得到MR图像所含噪声整体服从Rician分布，实部和虚部分别含有均值为0、方差相同且相互独立的加性高斯噪声，具体为信噪比低强度区域呈瑞利分布，信噪比高强度区域服从高斯分布[17]。
对K空间数据进行傅里叶变换[18]，得到变换图像。由于傅里叶变换只是将图像变换到频域中，噪声形式不会发生变化，因此得到的变换图像是复数信号，表达式如下：
|
(1) |
其中, Ic代表含有噪声的MR图像，Ir表示实部信号，Ii表示虚部信号，Nr和Ni分别表示实虚部噪声，各自服从均值为0、方差为σ2的高斯分布。为方便计算，一般将MR图像平方后再开方，得到幅值图像，即：
|
(2) |
MR图像经过平方再开方后，噪声已不再是加性高斯白噪声，而是与图像相关的Rician噪声。其分布函数为：
|
(3) |
其中x和μ为实际信号与带噪信号值，σ为标准差，I0为第零阶Bessel函数。
2 结合方差稳定变换和PGPD的新去噪算法FPGPD 2.1 经典PGPD算法原理基于块的图像去噪算法因其具有良好的去噪性能，近几年受到越来越多关注。2015年PGPD算法首次被提出，利用图像的非局部自相似性，将图像分成一定数量的局部块，其中任意局部块可提取出多个与此局部块相似的非局部块，它们共同组成新的块组，用于学习明确的NSS模型，利用此模型对含噪图像进行处理。PGPD算法在抑制高斯噪声方面较其它算法性能大幅提升。
PGPD算法包括学习阶段和去噪阶段。在学习阶段提取非局部相似块组，通过高斯混合模型的块组(PG-GMM)学习原始图像的先验NSS。在去噪阶段先进行高斯分量选择，再经加权稀疏编码去除噪声，最后将处理后的块组重建，得到去噪后的图像。
2.2 FPGPD去噪新算法MR图像噪声类型主要为Rician噪声，在信噪比低的部分Rician噪声呈瑞利分布，在信噪比较高的区域Rician噪声呈高斯分布。传统去除高斯噪声优异的PGPD算法对于MR图像中Rician噪声已不再适用。因此本文提出结合方差稳定变化和PGPD的一种新去噪算法，简称FPGPD。
2.2.1 方差稳定变换研究某一噪声的具体分布，需要分析其方差统计模型，一般情况下总是假定以下3点：(1)观测对象呈正态分布；(2)样本之间相互独立；(3)总体方差满足方差齐性，即方差为常数。当非常数的方差出现，可借助方差稳定变换，将异方差数据转变为同方差数据，使问题更容易解决。
方差稳定变换是一种常用的数学变换方法，在2009年由Foi首次提出，并于2011年用于医学图像去噪[6]。其基本原理如下：
假设图像的均值和方差为：
|
(4) |
寻找某一变换f(Y)使得方差变为常数，将f(Y)在μ处进行一阶泰勒公式展开，即：
|
(5) |
|
(6) |
|
(7) |
对两边求期望可得：
|
(8) |
|
(9) |
|
(10) |
经过上述变换，非常数的方差变为常数1。
MR图像中Rician噪声在低信噪比处趋近瑞利分布，在高信噪比处趋近高斯分布，概率密度图如图 1所示。
|
图 1 不同信噪比处的概率密度图 Fig.1 Probability density map at different SNR |
对于原始MR图像，分别加入9%的Rician噪声和9%的高斯噪声，作为参考对象。加入Rician噪声经过方差稳定变换得到的图像与参考对象做对比。
如图 2所示，(a)为原始MR图片，分别在原始图片上叠加相同噪声含噪的Rician噪声与高斯噪声，加噪后的图像分别为(b)和(c)，对叠加有Rician噪声的图像进行方差稳定变换得到图(d), 变换后的图像从视觉角度看与加入高斯噪声的图像相似，与理论推导结果相同。
|
图 2 加入不同噪声的对比图 Fig.2 Add different noise comparison pictures |
综上所述，首先将含Rician噪声的MR图像进行方差稳定变换，在变换域中噪声与图像之间依赖关系被解除，噪声和图像近似独立，同时噪声由原来的Rician分布近似转化为高斯分布，方差由变量转化为常数1。
2.2.2 去噪处理经方差稳定变换后，Rician分布的噪声近似转换为加性高斯噪声。叠加有Rician噪声的MR图像经过方差稳定变换后作为PGPD算法的输入，对输入图像进行块组分割，提取非局部相似块组，通过高斯混合模型块组(PG-GMM)学习原始图像的先验NSS。完成学习阶段后，进行高斯分量选择和加权稀疏编码抑制噪声，最后经方差稳定逆变换得到无偏去噪图像。
学习阶段，寻找非局部相似快组是关键。第一步选定任一局部块x0，以其为中心构建一大小适宜的局域窗，用欧式距离公式计算窗内块与块的间距，取最小距离的M块作为局域块的相似块，这M个相似块构成一集合，作为新的块分量，将其定义为xm=xm-μ，新的块组均值分量为μ= 
去噪阶段，高斯分量选择直接影响去噪结果，对于每一X, 对其加入噪声V，构成新的含噪块组Y=X+V，从训练好的PG-GMM模型中选择最优高斯分量，假设噪声服从高斯分布，方差为σ2，则第k个块组的协方差为∑k+σ2I, 其中I为单位矩阵。通过后验概率对k个高斯分量进行选择。在PG-GMM中，相似块发生变化，变化的趋势相同均呈高斯分布。对块组Y中的每一个相似块ym稀疏编码，可得
|
(11) |
D代表特征向量构成的正交矩阵，α为系数编码系数构成的向量，V代表噪声，Λi为第i个特征值对应的特征向量，Λi的大小代表对应特征向量的重要程度，值越大所对应特征向量在调整分布中作用越大，对应的编码系数分布越稀疏，稀疏编码系数的获取表示如下：
|
(12) |
其中λi=Λi1/2，c为常数，编码后得到新的块组，重建构成去除噪声的图像。
由于去噪处理是在变换域中进行，最后得到的图像值会有偏差，所以最后一步要进行方差稳定逆变换，得到无偏去噪图像。
综上所述，本文提出的FPGPD算法实现流程如下：
第一步：输入原始MR图像；
第二步：对MR图像叠加不同含量的Rician噪声；
第三步：对叠加有噪声的MR图像进行方差稳定变换；
第四步：计算每个局域块与中心块的欧氏距离，构建搜索窗，寻找非局部相似块；
第五步：块组采样、抽取，构建新块组；
第六步：新块组进行高斯分量选择；
第七步：加权稀疏变编码；
第八步：重建得到去噪MR图像；
第九步：方差稳定逆变换，得到无偏MR图像；
第十步：输出无偏去噪MR图像。
3 MR图像去噪实验为验证FPGPD去噪算法的有效性，特做以下实验。实验在内存8 GB、CPU主频2.50 GHz、MATLAB(R2014a)的64位Windows7版个人笔记本电脑上运行。图片来源为BrainWeb及MR图像数据库(http://brainweb.bic.mni.mcgill.ca/cgi/brainweb)。
本文以3张不同大脑切片和3张身体其它部位的MR图像为例进行去噪实验。分别在图像实部、虚部中叠加均值μ=0、均方差σ=1、2、3、4、5、6、7、8、9的Rician噪声来研究MR图像去噪效果，从峰值信噪比(PSNR)、结构相似度(SSIM)和视觉角度这3个方面分析去噪效果。
|
(13) |
|
(14) |
PSNR表示峰值信噪比，其中S代表原始图像，
SSIM表示结构相似度，X、Y代表原始图像和去噪图像的像素集，μx是X的平均值，σx2是X的方差，μy是Y的平均值，μy2是Y的方差，σxy是XY的协方差，C1、C2为常数。SSIM作为衡量两幅图像相似度的指标，取值范围为-1~1，分别从亮度、结构和对比度这3方面评价图像的相似性，其值越接近于1，代表去噪后图像与原始图像越相似。
3.1 加噪实验原始MR图像由MR模拟滤波器生成，并非实际采集的人体MR图像，其生成原理与医学MR设备相同，除做特殊处理不含噪声外，其他数据均相同。研究中为尽可能还原实际MR图像，对原始无噪MR图像叠加不同量级的Rician噪声，结果如图 3所示。其中图 3(a)为原始不含噪的MR图像，图 3(b)~(j)分别为叠加不同含量Rician噪声的MR图像，噪声含量设置为1%、2%、3%、4%、5%、6%、7%、8%和9%。实际MR图像所含噪声不会太大，为便于实验分析，对原始MR图像叠加噪声范围取值为1%~9%。
|
图 3 噪声含量不同的MR图像 Fig.3 MR images with different noise levels |
选用3组大脑切片MR图像，分别叠加5%的Rician噪声，用原PGPD算法和本文提出的FPGPD算法分别去噪，结果展示如图 4所示。
|
图 4 不同切片值的大脑MR图像处理 Fig.4 Brain MR image processing with different slice values |
通过上述3组大脑不同切片值的MR图像加噪去噪实验，从视觉角度分析如下：原PGPD算法去噪后图像过于平滑，比较模糊，视觉感较差。本文提出的FPGPD算法去除噪声干净，图像清晰，细节和轮廓保护好。对比PGPD算法，本文提出的FPGPD算法从视觉角度分析效果更好。
为进一步比较两种算法去噪性能，分别计算PSNR和SSIM两值，定量分析两种去噪算法性能，实验结果如图 5所示。图 5(a)为两种去噪算法对叠加有不同噪声含量的9幅图像去噪后的PSNR值，蓝色表示原PGPD算法去噪后的PSNR值，红色表示FPGPD算法去噪后的PSNR值。在噪声含量低的时候，FPGPD算法PSNR值要远远高于PGPD算法，随着噪声含量的增加，FPGPD算法的优势逐渐减少，当噪声含量大于7%后，两种去噪算法性能相差不大，说明在噪声含量较低时，本文提出的FPGPD算法对图像的保真度要高于原PGPD算法。
|
图 5 两种去噪算性能比较 Fig.5 Comparison of two denoising performances |
图 5(b)为两种去噪算法对叠加有不同噪声含量的9幅图像去噪后的SSIM值，蓝色表示原PGPD算法去噪后的SSIM值，红色表示FPGPD算法去噪后的SSIM值，FPGPD算法去噪后的SSIM值总是比PGPD算法更接近于1，说明从亮度、结构和对比度3个方面衡量两幅图像的相似度时，FPGPD算法优于PGPD算法，去噪后的图像更接近原始图像。
如表 1所示，大脑切片值为50时的MR图像用PGPD算法和FPGPD算法去噪，并对两种算法从PSNR值和SSIM值两方面分析对比：噪声含量较低时，FPGPD算法PSNR值提高较多；随着噪声含量增加，PSNR值提高的百分比逐渐下降，当噪声大于7%时，PSNR值不再提高甚至下降。FPGPD算法的SSIM值始终高于PGPD算法，尽管随着噪声含量的增加，SSIM提高的百分比稍有下降，但依旧高于PGPD算法。
|
表 1 大脑切片值为50时用两种算法去噪后的结果对比 Table 1 Comparison of results after denoising by two algorithms when the brain slice value is 50 |
由于MR图像所含Rician分布的噪声，信噪比低的部分服从瑞利分布，信噪比高的部分服从高斯分布，方差稳定变换将Rician分布的噪声近似变为加性高斯噪声，对图像信噪比低的部分变换较明显，而对图像信噪比较高的部分变换相对不明显，体现为随着噪声含量增加，FPGPD算法去噪后的PSNR值和SSIM值提高的百分比逐渐降低。经过方差稳定变换后的图像发生偏差，需要乘以相应的系数恢复原始图像，表中所列变换系数为大量实验寻优所得结果。
3.2.2 不同组织的MR图像去噪实验为验证本文提出的FPGPD算法针对不同MR图像的去噪效果，分别选取不同组织的含噪MR图像进行去噪实验，选取的图像为：细节含量丰富的肝脏MR图像、细节含量中等的人体脊椎MR图像和细节含量较少的人体膝盖MR图像。分别叠加5%的Rician噪声，用原PGPD算法和本文提出的FPGPD算法分别去噪，结果展示如图 6所示。
|
图 6 两种去噪算法对不同部位的MR图像处理 Fig.6 Two kinds of denoising algorithms for MR image processing in different parts |
根据实验结果，从视觉角度看，图 6(a)为人体肝脏MR图像，人体肝脏结构复杂，内部含有多个腔室和丰富的血管结构。经FPGPD去噪后图像稍有模糊，但依旧能够清晰看到腔室和血管组织结构，细节轮廓清晰，而PGPD去噪后图像模糊，内部结构几乎无法辨认。
图 6(b)为人体脊椎MR图像，人体脊椎含有较为丰富的骨骼结构，但不如肝脏结构细节丰富。经FPGPD去噪后，去除噪声干净，脊椎骨骼结构清晰可见，而PGPD算法去噪后，脊椎骨骼难以识别，图像比较模糊。
图 6(c)为人体膝盖MR图像，人体膝盖结构简单，细节含量少，轮廓清晰。经FPGPD算法去噪后，噪声去除干净，结构清晰，细节丢失少，与原始图像差别较小。PGPD算法去噪后，噪声去除干净，清晰度比FPGPD稍差，但整体效果良好，图像较为清晰。
综上所述，从视觉角度看，本文所提出的FPGPD算法对于MR图像去噪处理效果优于原PGPD算法。
为了更好的验证两种去噪算法性能，分别用PSNR和SSIM两个指标来定量分析，对比实验如图 7所示。
|
图 7 两种去噪算法对不同部位去噪性能分析 Fig.7 Denoising performance analysis of different parts by two denoising algorithms |
图 7(a)、(b)为人体肝脏MR图像经过两种去噪算法对叠加有不同噪声含量的9幅图像去噪后的PSNR值和SSIM值的分析比较，红色代表PGPD算法，蓝色代表FPGPD算法。从图(a)中看出，FPGPD算法的PSNR值始终高于PGPD算法。从图(b)中可以发现，FPGPD算法的SSIM值始终高于PGPD算法，且提高值保持0.1以上。
图 7(c)、(d)为人体脊椎MR图像经过两种去噪算法对叠加有不同噪声含量的9幅图像去噪后的PSNR值和SSIM值的分析比较。从图(c)中看出，FPGPD算法的PSNR值始终高于PGPD算法。从图(d)中可以发现，在噪声含量低于5%时，FPGPD算法的SSIM值高于PGPD算法，但是在噪声含量大于5%以后，FPGPD算法的SSIM值低于PGPD算法，原因是有用图像相对于背景区域而言所占比例较小，导致图像整体细节含量减少。
图 7(e)、(f)为人体膝盖MR图像经过两种去噪算法对叠加有不同噪声含量的9幅图像去噪后的PSNR值和SSIM值的分析比较。从图(e)中看出，FPGPD算法的PSNR值始终高于PGPD算法。从图(f)中可以发现，FPGPD算法的SSIM值始终高于PGPD算法，且提高值保持0.1左右。
通过多组实验对比，在噪声含量较低时，FPGPD算法去噪性能明显优于PGPD算法。从视觉角度看，FPGPD算法去噪后的图像细节清晰、图像保真度高、SSIM值高。在噪声含量较高时，两种去噪算法的PSNR值相当，图像细节含量越丰富，FPGPD算法去噪后的SSIM值越高于PGPD算法。在噪声含量较低时，本文所提出的FPGPD算法去噪性能明显高于PGPD算法。
4 结论本文提出一种结合方差稳定变换和PGPD的新算法FPGPD。由于MR图像中所含噪声为Rician分布的随机噪声，Rician噪声在信噪比较低时服从瑞利分布，在信噪比较高时服从高斯分布。首先将含噪MR图像经过方差稳定变换，在变换域中，服从Rician分布的噪声近似转化为高斯噪声，通过PGPD算法进行去噪，重建得到变换域中的去噪图像，最后经过方差稳定逆变换，得到无偏去噪图像。理论分析和实验结果表明，FPGPD算法在噪声含量较低时，能够有效去除MR图像中Rician噪声，更好的保护图像细节和边缘信息。对比PGPD算法，FPGPD算法的PSNR值和SSIM值均明显提高，从视觉角度观察效果更好。此结果证实，在处理医学MR图像中的Rician噪声方面，FPGPD算法优势明显。
| [1] |
Jacobus F J, Walter H B, Klaas N, Kooi M E. 1HMR spectroscopy of the brain:absolute quantification of metabolites[J]. Radiology, 2006, 240(2): 318–322.
DOI:10.1148/radiol.2402050314 |
| [2] |
吴建华, 李迟生, 周卫星. 中值滤波与均值滤波的去噪性能比较[J]. 南昌大学学报(工科版), 1998, 20(1): 33–36+62.
Wu J H, Li C S, Zhou W X. Comparison of denoising performance between median filter and mean filter[J]. Journal of Nanchang University (Engineering Edition), 1998, 20(1): 33–36+62. |
| [3] |
石满红, 刘卫. 一种新的平移不变Shearlet变换域图像去噪算法[J]. 红外技术, 2016, 38(1): 33–40.
Shi M H, Liu W. A new translation invariant shearlet transform domain image denoising algorithm[J]. Infrared Technology Journal, 2016, 38(1): 33–40. |
| [4] |
陈晓钢.基于统计分析的图像去模糊与图像去噪新方法研究[D].上海: 上海交通大学, 2013.
Chen X G. Research on image deblurring and image denoising based on statistical analysis[D]. Shanghai: Shanghai Jiaotong University, 2013. http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10248-1014077486.htm |
| [5] |
程巧翠.磁共振复数图像小波去噪研究[D].湖南: 湘潭大学, 2008.
Cheng Q C. Research on wavelet denoising of magnetic resonance complex image[D].Hunan: Xiangtan University, 2008. http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10530-2008180557.htm |
| [6] |
Foi A. Noise estimation and removal in MR imaging: the variance-stabilization approach[C].IEEE International Symposium on Biomedical Imaging.Chicago: IEEE, 2011.1809-1814.
http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5872758 |
| [7] |
孙伟峰.基于非局部信息的信号与图像处理算法及其应用研究[D].济南: 山东大学, 2010.
Sun W F. Signal and image processing algorithm based on nonlocal information and application[D]. Jinan: Shandong University, 2010. http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10422-2010102604.htm |
| [8] |
陈创泉, 房少梅. 基于增强的同质相似性和旋转不变性的MRI去噪[J]. 佛山科学技术学院学报(自然科学版), 2015, 33(4): 14–21.
Chen C Q, Fang S M. MRI denoising based on enhanced homogeneity and rotation invariance[J]. Journal of Foshan University of Science and Technology (Natural Science Edition), 2015, 33(4): 14–21. DOI:10.3969/j.issn.1008-0171.2015.04.004 |
| [9] |
黄学优, 张长江. 双树复小波域的MRI图像去噪[J]. 中国图象图形学报, 2016, 21(1): 104–113.
Huang X Y, Zhang C J. MR image denoising in double-tree complex wavelet domain[J]. Chinese Journal of Image and Graphics, 2016, 21(1): 104–113. |
| [10] |
Luisier F, Blu T, Wolfe P J. A CURE for noisy magnetic resonance imgaes:chi-square unbiased risk estimation[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2012, 21(8): 3454–3465.
DOI:10.1109/TIP.2012.2191565 |
| [11] |
Yu G. Variance stabilizing transformations of Poisson, binomial and negative binomial distributions[J]. Statistics & Probability Letters, 2009(79): 1621–1629.
|
| [12] |
王小平. 医药统计中的方差齐次性变换[J]. 数理医药学杂志, 2007, 20(5): 615–617.
Wang X P. Homogeneous transformation of variance in medical statistics[J]. Journal of mathematical medicine, 2007, 20(5): 615–617. DOI:10.3969/j.issn.1004-4337.2007.05.010 |
| [13] |
Xu J, Zhang L, Zuo W, Zhang D, Feng X. Patch group based nonlocal self-similarity prior learning for image denoising[C]. IEEE International Conference on Computer Vision, 2015. 244-252.
http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=7410393 |
| [14] |
Wang S, Liu Z W, Dong W S, Jiao L C, Tang Q X. Total variation based image deblurring with nonlocal self-similarity constraint[J]. Electronics Letters, 2011, 47(16): 916–918.
DOI:10.1049/el.2011.1409 |
| [15] |
程巧翠, 高协平. 平移不变的小波域近邻系数阈值MR图像去噪[J]. 中国图象图形学报, 2009, 14(7): 1284–1290.
Cheng Q C, Gao X P. Translation-invariant wavelet domain nearest neighbor coefficient threshold MR image denoising[J]. Chinese Journal of Image and Graphics, 2009, 14(7): 1284–1290. |
| [16] |
周亚同, 陈子一, 马尽文. 从高斯过程到高斯过程混合模型:研究与展望[J]. 信号处理, 2016, 32(8): 960–972.
Zhou Y T, Chen Z Y, Ma J C. Mixed model from Gaussian process to Gaussian process:research and prospect[J]. Signal processing, 2016, 32(8): 960–972. |
| [17] |
樊勇.基于高斯噪声的图像去噪算法研究[D].重庆: 西南石油大学, 2014.
Fan Y. Research on image denoising algorithm based on Gaussian noise[D]. Chongqing: Southwest Petroleum University, 2014. http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10615-1014415832.htm |
| [18] |
王芳.基于双树复小波变换的微弱生物医学信号处理及其应用研究[D].重庆: 重庆大学, 2014.
Wang F. Weak biomedical signal processing based on double-tree complex wavelet transform and its application[D]. Chongqing: Chongqing University, 2014. http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10611-1014044322.htm |